2026.03.26 🔐 技術解説

RSA暗号を手計算で体験！
小さな数字で暗号化・復号の全工程を解説

📌 この記事でわかること

RSA暗号の鍵生成・暗号化・復号を小さな数字（N=15）で実際に計算できる
「素因数分解の難しさ」が暗号の強さになる理由が直感的にわかる
RSA暗号がビットコインではなく楕円曲線暗号（ECC）に置き換えられた理由もわかる

「RSA暗号って難しそう…」と思っているかもしれないけど、実は小学校レベルの計算だけで体験できるんだよ🐾
今日はN=15という超シンプルな例を使って、暗号化から復号まで全部手計算でやってみよう！

1. RSA暗号とはなにか？

RSA暗号は1977年に開発された公開鍵暗号方式だよ。世界で最も広く使われてきた暗号で、インターネットのHTTPS通信（鍵マーク）にも使われているんだ。

RSAの安全性の根拠はシンプルだよ：

🧮

「大きな数を2つの素数に分解するのは、現実時間では不可能」
例えば「N = 143」を見ても、これが「11 × 13」だとすぐわかる人は少ないよね。これが何百桁になると、世界最速のコンピュータでも数万年かかるんだ。この「素因数分解の難しさ」を安全性の根拠にしているんだよ🐾

2. ステップ①：秘密鍵と公開鍵のペアを作る

今回使う超シンプルな例（大阪大学三浦研究室の講義演習より）：

STEP 1-1 ── 2つの素数 p、q を選ぶ

p = 3, q = 5

「素数」とは、1と自分自身でしか割り切れない数のことだよ。3も5も素数だよ🐾

STEP 1-2 ── N（法・モジュラス）を計算する

N = p × q = 3 × 5 = 15

この N = 15 が公開される数字だよ。でも「15 = 3 × 5」と分かっている人は今だけ！実際のRSAは何百桁もあるから逆算は不可能なんだ。

STEP 1-3 ── L（最小公倍数）を計算する

L = lcm(p-1, q-1) = lcm(2, 4) = 4

「lcm」は最小公倍数のことだよ。2と4の最小公倍数は4だね。

STEP 1-4 ── 公開鍵 E を選ぶ

E = 3 （公開鍵）

L（=4）と「互いに素」な数を選ぶんだ（共通の約数が1のみ）。3と4の最大公約数は1なので OK。E は公開していい数字だよ。

STEP 1-5 ── 秘密鍵 D を計算する

E × D mod L = 1 を満たす D を求める
3 × D mod 4 = 1 → D = 11（秘密鍵）

確認：3 × 11 = 33。33 ÷ 4 = 8 余り 1。✅ OK！
D = 11 は絶対に秘密にしておく数字だよ🐾

🗝️ 生成されたキーペア

項目	値	公開？
N（法）	15	✅ 公開
E（公開鍵）	3	✅ 公開
D（秘密鍵）	11	🔴 秘密
p, q（素因数）	3, 5	🔴 秘密（捨てる）

3. ステップ②：暗号化してみよう

平文（送りたいメッセージ）を M = 7 としよう。

本来は「A=1、B=2...」のような文字コード変換をして数字にするんだけど、今回はシンプルにM=7で試すよ。

暗号化：M を公開鍵 E で冪乗して N で割った余りを求める

C = M^E mod N = 7³ mod 15

7³ = 7 × 7 × 7 = 343
343 ÷ 15 = 22 余り 13

→ 暗号文 C = 13

「7」というメッセージが、「13」という暗号文に変換されたよ！
これを受け取った人には、N=15とE=3（公開鍵）は知っていても、秘密鍵D=11がわからないと復号できないんだ。

4. ステップ③：復号してみよう

受け取った暗号文 C = 13 を、秘密鍵 D = 11 で復号するよ。

復号：暗号文 C を秘密鍵 D で冪乗して N で割った余りを求める

M = C^D mod N = 13¹¹ mod 15

13¹¹ = 1,792,160,394,037
1,792,160,394,037 ÷ 15 = 119,477,359,602 余り 7

→ 復号された平文 M = 7 ✅

7が13に暗号化され、13が7に戻ってきた！元のメッセージが正確に復元されたよ🐾
この「魔法」の理由は、オイラーの定理という数学的な証明にあるんだけど、今は「そういう仕組みになっている」と覚えておけば大丈夫だよ。

5. 全体の流れをまとめると

📝 N=15 の RSA 手計算まとめ

ステップ	計算内容	値
素数選択	p=3, q=5	–
N（法）	p × q	15
L（最小公倍数）	lcm(2, 4)	4
E（公開鍵）	Lと互いに素な数	3
D（秘密鍵）	E × D mod L = 1 を満たす	11
暗号化	7³ mod 15	13
復号	13¹¹ mod 15	7 ✅

6. ビットコインの秘密鍵との違い

🔗 RSA暗号 vs ビットコインの秘密鍵

ビットコインはRSAではなく楕円曲線暗号（ECC／secp256k1）を使っているんだ。理由はシンプル——同じ安全レベルなら、ECCはRSAより約1/10の鍵長で済むから。

RSA では128bit相当の安全性に3,072bitの鍵が必要。ECCなら256bitで同等。スマホでビットコインを管理する場合、計算量が少なく端末への負荷が低いECCが最適なんだよ🐾

RSA暗号の手計算を体験したことで、「なぜ公開鍵から秘密鍵を逆算できないのか」が感覚でわかったんじゃないかな。N=15のような小さな数でさえ、13¹¹という膨大な計算が必要だったよね。現実のRSAやECCは桁数が何百倍も大きいから、逆算は事実上不可能なんだよ🐾

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